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本文作者：高其豪老師
泰祺教育數(shù)學(xué)教研組老師
關(guān)于幾個相容或互斥的集合的計數(shù)問題，稱為容斥問題。
相容，是同時并存的意思，“我中有你，你中有我”。
互斥，是互相排斥的意思，“我中無你，你中無我”。
在管綜數(shù)學(xué)中，容斥問題是應(yīng)用題的一類重要題型，主要考查兩個集合或三個集合的容斥問題。經(jīng)常讓求解總體的數(shù)量或局部的數(shù)量，有時也會讓求解某部分?jǐn)?shù)量的最大值或最小值等。下面我們先復(fù)習(xí)一下知識點。
容斥原理及結(jié)論
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容斥原理
統(tǒng)計總體數(shù)量時，一部分?jǐn)?shù)據(jù)會被重復(fù)計數(shù)，所以需要減去重復(fù)的計數(shù)。對應(yīng)的知識點是容斥原理，下面我們來看一下。
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結(jié)論
由容斥原理可以得到下面兩個結(jié)論，解題時，可以直接套用。
求解容斥問題的方法
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對于兩個集合的容斥問題：
①可以優(yōu)先畫文氏圖來解題。（畫類似上面幾個彩色的圖。）
②有時也可以用容斥原理。
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對于三個集合的容斥問題：
①可以優(yōu)先使用結(jié)論來解題。
②當(dāng)三個集合的交集部分已知時，經(jīng)常畫文氏圖可以解題；當(dāng)三個集合的交集部分未知時，畫文氏圖可以幫助分析。
③使用容斥原理解題。在容斥問題求最值的時候，可結(jié)合文氏圖和容斥原理來解題。
總體上來說，容斥問題并不是很難。熟練掌握文氏圖、容斥原理及結(jié)論，把容斥問題這3分收入囊中不在話下。積少成多，量變引起質(zhì)變，大家加油！
